1.求二元函数z=x^4+y^4-4x^2y^2的偏导数∂z/∂x,∂z/ͦ

（1）∂z/∂x=4x³-8xy²,∂z/∂y=4y³-8x²y
（2）y'=(1+x²)'/(1+x²)=2x/(1+x²),dy=y'dx=[2x/(1+x²)]dx；
（3）定义域 (0,∞)；x→0,f(x)→+∞,x→+∞,f(x)→+∞；令 f'(x)=4x-(1/x)=0,求得函数驻点x= 1/2；
极小值：f(1/2)=2(1/2)²-ln(1/2)=(1/2)+ln2；当 01/2,单调递增；
（4）x→0,lim{[1/ln(1+x)]-(1/x)}=lim{[x-ln(1+x)]/[xln(1+x)]}=lim{[1- 1/(1+x)]/[x/(1+x) + ln(1+x)]}
=lim{x/[x+(1+x)ln(1+x)]}=lim{1/[1+1+ln(1+x)]}=1/(2+0)=1/2；
（5）dx+xydy=y³dx+ydy → y(x-1)dy=(y³-1)dx → ydy/(y³-1)=dx/(x-1)；
∫ydy/(y³-1)=∫dx/(x-1) → (1/2)∫[1/(y-1) - (y-1)/(y²+y+1)]dy=ln(x-1) →
ln(y-1)-∫[(y+ 1/2 - 3/2)/(y²+y+1)]dy=2ln(x-1)
ln(y-1)-(1/2)*ln(y²+y+1)-(3/2)∫[1/(y²+y+1)]dy=2ln(x-1)
ln(y-1)-ln√(y²+y+1)-(3/2)∫dy/[(y+ 1/2)²+ (3/4)]=2ln(x-1)
ln(y-1)-ln√(y²+y+1)-∫d(2y+1)/[3(2y+1)²+1)]=2ln(x-1)
ln(y-1)-ln√(y²+y+1)-(√3/3)artan[(2y+1)√3]+C=2ln(x-1)