当x∈[0，[7π/6]]时，讨论关于x的方程2cos2x-sinx+α=0（α∈R）实根的个数．

解题思路：令t=sinx（0≤x≤[7π/6]），a=2(t+

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)2-[17/8]，t∈[-[1/2]，1]，作出函数的图象，通过讨论a的范围，得出方程的根的个数．

有方程2cos²x-sinx+a=0可得a=-2cos²x+sinx，
∴a=2sin²x+sinx-2，
a=2(sinx+
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4)2-[17/8]，
∵0≤x≤[7π/6]，∴-[1/2]≤sinx≤1，
-[17/8]≤2（sinx+[1/4]）²-[17/8]≤1，
令t=sinx（0≤x≤[7π/6]），
∴a=2(t+
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4)2-[17/8]，t∈[-[1/2]，1]，
画出函数图象，如图示：

（1）当a≤-[17/8]或a＞1时，方程没有实数根；
（2）当a=-2时，得sinx=[1/2]或0，可得x=0或x=[7π/6]，即方程有3个实数根；
（3）当a=1时，得sinx=[3/2]或1，可得x=[π/2]，即方程有1个实数根；
（4）当-[17/8]＜a＜-2或-2＜a＜1时，每一个a值都对应两个不同的x值，即方程有2个实数根．

点评：
本题考点： 根的存在性及根的个数判断；同角三角函数基本关系的运用．

考点点评： 本题考查了方程根的存在性，考查了三角函数问题，本题属于中档题．