正四面体内切球、外接球半径与边长比解析
正四面体是一种由四个全等正三角形面组成的特殊几何体。其内切球（与四个面相切的球）和外接球（通过四个顶点的球）的半径与棱长之间存在固定的比例关系，这是立体几何中的一个经典结论。
半径公式推导与比值
设正四面体的棱长为a。其外接球半径R可以通过几何关系求得：正四面体的高为√6/3 * a，而外接球球心位于高的四分之三处（从顶点算起），因此外接球半径R = √6/4 * a。内切球半径r的球心与重心重合，位于高的四分之一处，故内切球半径r = √6/12 * a。由此可得，内切球半径r与外接球半径R之比为 r : R = (√6/12) : (√6/4) = 1:3。也就是说，内切球半径是外接球半径的三分之一。
总结来说，对于棱长为a的正四面体，其内切球半径r = √6/12 * a，外接球半径R = √6/4 * a。两者的比值恒为1:3。这个简洁而优美的比例关系，体现了正四面体高度对称的特性，在化学（如甲烷分子结构）、晶体学等领域有重要应用。