如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥O

解题思路：①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD=∠ADO即可；
②作ON⊥CD，根据AD平分∠CAB交弧BC于点D，求出∠COD=45°，再求出∠OCD=∠ODC=67.5°，
得到CD=DE；
③两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明③△ODE∽△ADO；
④根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠COD=45°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠CDE=45°，再求证△CED∽△COD，利用其对应变成比例即可得出结论．

①∵AB是半圆直径，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO=[1/2]∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴①正确．
②作ON⊥CD，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=[1/2]×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圆直径，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°，
∠AEO=90°-22.5°=67.5°，
∴∠DCE=∠CED=67.5°，
∴CD=DE，
∴②正确．
③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，
∵∠COD=2∠CAD=2∠OAD，
∴∠DEO≠∠DAO，
∴不能证明△ODE和△ADO相似，
∴③错误；
④∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=[1/2]×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圆直径，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已证），
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，
∴△CED∽△COD，
∴[CD/OD]=[CE/CD]，
∴CD²=OD•CE=[1/2]AB•CE，
∴2CD²=CE•AB．
∴④正确．
综上所述，只有①②④正确．
故选C．

点评：
本题考点： 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点的灵活运用，此题步骤繁琐，但相对而言，难易程度适中，很适合学生的训练是一道典型的题目．

①∵AB是半圆直径，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO=
1
2
∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴①正确．
②过点E作EF⊥AC，
∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴OE=EF，

1 4

如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点D，AD平分∠CAB交弧
BC
于点D，连接CD、OD．下列结论：①AC∥OD；②CE=OE；③∠OED=∠AOD；④CD=DE．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；垂径定理．分析：根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD=...

额

1对
因为oa od为半径，所以oad=oda，所以平行
3错

证明：①∵AB是半圆直径，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO=1 2 ∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴故①选项正确．
②过点O作OG⊥AC，
∵OG⊥AC，
∴ AG = CG ，
∵半径OC⊥AB于点O，
∴ AG ...

①。 ④