海上二胡师 幼苗
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①∵BE为圆O的切线,BA为圆的弦,
∴∠EBA为弦切角,
∴∠EBA=∠C,又∠EBC=2∠C,
∴∠EBC=2∠EBA,
∴∠ABC=∠C,
∴AB=AC;
②(i)连接OA.
∵AB=AC,∴
AB=
AC,
∴OA⊥BC,
∴D为BC的中点,即BD=CD,
∵tan∠ABE=[1/2],∠EBA=∠ABC,
∴tan∠ABC=[1/2],
在Rt△ABD中,tan∠ABC=[AD/BD]=[1/2],
设AD=k,则BD=2k,BC=4k,
在△ABD中,∠ADB=90°,根据勾股定理得:AB=
BD2+AD2=
5k,
则[AB/BC]=
5k
4k=
5
4;
(ii)在Rt△ADC中,AC=AB=2,tan∠ABE=tanC=[AD/DC]=[1/2],
设AD=x,DC=2x,根据勾股定理得:x2+(2x)2=22,
解得:x=
2
5
5,
∴BC=2DC=4x=
8
5
5,
∵∠EBA=∠C,∠E=∠E,
∴△AEB∽△BEC,
∴[AE/BE]=[BE/EC]=[AB/BC]=
2
8
5
5=
5
4,
∴BE=
4
5
5AE,
又∵[AE/BE]=[BE/EC],即BE2=AE•CE,
∴(
4
5
5AE)2=AE(AC+AE)=AE(2+AE),
整理得:[16/5]AE2=2AE+AE2,
解得:AE=[10/11].
点评:
本题考点: 切线的性质;垂径定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质;解直角三角形.
考点点评: 此题考查了切线的性质,等腰三角形的判定与性质,弦、圆心角及弧之间的关系,勾股定理,垂径定理,圆周角定理,相似三角形的判定与性质,以及锐角三角函数定义,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
1年前
你能帮帮他们吗