nicky_520
幼苗
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二楼的定义是很多教材中采用的,从表面上看消除了循环定义,实际上这个基本极限的存在性并不是那么容易证明的.不是说不能这样定义,只是要真的消除逻辑上的隐患仍然需要在过程中借助用别的途径,而不是简单地用角度制就能解决的.
一般来讲可以通过级数或者积分来定义pi,举几个例子
1.pi=4*arctan1,arctanx用幂级数x-x^3/3+x^5/5-...来定义.
2.用幂级数定义sinx,然后它的第一个大于0的根定义为pi/2.
3.sqrt(4-x^2)在[0,2]上Riemann可积,可以把这个积分定义为pi,这个相当于用圆面积来定义.类似地也可以用长度对应的定积分来定义.
4.把级数6(1+1/4+1/9+1/16+...)的平方根定义为pi.
这些例子的共同点就是证明了某个极限的存在性,然后把这个量就定义成pi.
pi是超越数,因此pi的定义不能是纯代数的,其过程中必需有极限运算.pi虽然是很重要的量,但不是数学分析中很多推导所必需的基础,所以可以通过一些收敛性的结论来定义这个常数.
1年前
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