已知函数f(x)=sinx(3cosx−sinx).

已知函数f(x)=sinx(
3
cosx−sinx)

(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若A是锐角三角形△ABC的一个内角,求f(A)的最大值与最小值.
HJ1986 1年前 已收到1个回答 举报

文山里人 幼苗

共回答了17个问题采纳率:94.1% 举报

解题思路:(1)由二倍角的余弦公式和辅助角公式,化简得f(x)=sin(2x+[π/6])-[1/2],再结合正弦函数单调区间的公式,即可得到f(x)的单调递减区间;
(2)根据题意,得到f(A)=sin(2A+[π/6])-[1/2],而2A+[π/6]∈([π/6],[7π/6]),由此结合正弦函数在区间([π/6],[7π/6])上的图象,即可得到f(A)的最大值与最小值.

(1)f(x)=sinx(
3cosx−sinx)=

3
2sin2x-[1/2](1-cos2x)=sin(2x+[π/6])-[1/2]
由[π/2]+2kπ≤2x+[π/6]≤[3π/2]+2kπ,k∈Z,解得[π/6]+kπ≤x≤[2π/3]+kπ,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递增区间为[[π/6]+kπ,[2π/3]+kπ],k∈Z.…(7分)
(2)由(1)得f(A)=sin(2A+[π/6])-[1/2]
∵A是锐角三角形△ABC的一个内角,得A∈(0,[π/2])
∴2A+[π/6]∈([π/6],[7π/6]),
结合正弦函数的图象与性质,可得sin(2A+[π/6])∈(-[1/2],1]
∴sin(2A+[π/6])-[1/2]∈(-1,[1/2]]
由此可得,f(A)的最大值为f([π/6])=[1/2],没有最小值…(12分)

点评:
本题考点: 三角函数中的恒等变换应用;复合三角函数的单调性;三角函数的最值.

考点点评: 本题给出三角函数式,求函数的单调区间和周期,并求在闭区间上的最值,着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识,属于基础题.

1年前

5
可能相似的问题
Copyright © 2024 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 17 q. 0.108 s. - webmaster@yulucn.com