关于群论的一些问题1：解方程X*4=1在9个元素的域中2：找到两个群之间所有的同构：Z3+Z9+Z27与Z6+Z2+Z4

1. 我不确定X*4是什么运算, 如果是乘法, 由9元有限域GF(9)的特征是3, 有4 = 1, 解为X = 1.
如果是乘方, 我习惯写X^4. 要写出方程X^4 = 1的解, 需要给GF(9)中的元素一个表示方法.
可以用y²+1是GF(3)[y]中的不可约多项式, 将GF(9)等同于多项式环的商环GF(3)[y]/(y²+1).
GF(9) = {[0], [1], [2], [y], [y+1], [y+2], [2y], [2y+1], [2y+2]}, 这里用[ ]代表等价类.
由[y]²+[1] = [0], [y]和-[y] = [2y]是X²+[1] = [0]的两根.
于是[0] = X^4-[1] = (X²-[1])(X²+[1]) = (X-[1])(X+[1])(X-[y])(X+[y]).
得解为X = [1], [2], [y], [2y]. 不知道这是不是你想要的形式.
2. 这两个群是不同构的, 我想你要找的是同态吧.
既然能出这个问题, 应该知道对有限Abel群的以下结论吧(等号表示同构):
Hom(A⊕B,C) = Hom(A,C)⊕Hom(B,C), Hom(A,B⊕C) = Hom(A,B)⊕Hom(A,C).
另外若正整数m和n互素, 则有Hom(Z_m,Z_n) = 0. 用以上结论可以得到:
Hom(Z_3⊕Z_9⊕Z_27,Z_6⊕Z_2⊕Z_4) = Hom(Z_3,Z_6)⊕Hom(Z_9,Z_6)⊕Hom(Z_27,Z_6).
循环群的同态由生成元的像决定. 以Hom(Z_9,Z_6)为例, 1是Z_9中的生成元, 阶为9.
1的像必须是Z_6中阶数整除9的元素, 只能为0, 2, 4, 分别得到3个同态:
可以写为f(y) = 0, f(y) = 2y与f(y) = 4y.
对另两个分量同样讨论, 可将Hom(Z_3⊕Z_9⊕Z_27,Z_6⊕Z_2⊕Z_4)的元素表示为:
f(x,y,z) = (ax+by+cz,0,0), 其中a, b, c分别可取0, 2, 4, 共27个同态.
3. 已知结论: 素数方幂阶的群是可解的.
设G是一个72阶群. 由Sylow定理, G的Sylow 3-子群(即9阶子群)的个数为1或4.
若个数为1, 该9阶子群是正规子群, 对其商群是8阶群, 二者均可解, 故G也可解.
若个数为4, 考虑一个Sylow 3-子群的正规化子H, 这是一个18阶子群.
G在集合G/H上的作用给出了一个G到S_4的同态, 且像集阶数被4整除, 又|S_4| = 24.
可知G有一个3, 9或18阶的正规子群. 但由G有4个Sylow 3-子群, 9阶子群不正规.
又18阶子群中只有1个9阶子群, 18阶子群也不正规. 故G有1个3阶正规子群.
且G对其的商群同构于S_4, 只要证明S_4是可解的.
S_4有12阶正规子群A_4, A_4以Klein群为4阶正规子群, 故S_4可解, G可解.
例子的话不清楚"由非Abel非同态群构成"是什么意思.
先举两个不同构的非Abel群的例子. 一个是D_8⊕Z_9, 一个是S_4⊕Z_3.
二者的Sylow 3-子群个数不同, 故不同构.
4. 存在. G = GL(2,R)为2阶可逆实矩阵构成的群. 取其子群H由形如
1 n
0 1
而矩阵组成, 其中n是整数.
取a =
2 0
0 1
则左陪集aH中的矩阵形如
2 2n
0 1
右陪集Ha中的矩阵形如
2 n
0 1
aH是Ha的真子集.
不太清楚你的知识基础, 逐条详细解释太过啰嗦.
如果有疑问请具体指出, 方便我有针对性的回答.