数学题目,题目如题.在线等8-（3）那题

就是求√（1+t^2)的积分
利用三角公式变形：1+(tanα)^2=(secα)^2
设t=tanx,则√（1+t^2)=secx
dt=dtanx=secx)^2dx
所以∫√（1+t^2)dt=∫(secx)^3dx
∫(secx)^3dx
=∫secx*dtanx
=secx*tanx-∫tanxdsecx
=secx*tanx-∫tanx*secx*tanxdx
=secx*tanx-∫((secx)^2-1)secxdx
=secx*tanx-∫((secx)^3-secx)dx
=secx*tanx-∫(secx)^3dx+∫secxdx
=secx*tanx-∫(secx)^3dx+ln|secx+tanx|
最后,把积分中∫(secx)^3dx项移到左边合并就可以得到答案为1/2(secx*tanx+ln|secx+tanx|)+C.
√（1+t^2)的原函数=1/2(secx*tanx+ln|secx+tanx|)+C
最后x=arctant,带进去得最后答案
1/2（sec arctant*t+ln|sec arctant+t|)+C

y=√(1+t²)的原函数
定义域t∈R，值域y≥1
反y²＝1+t²
t＝±√(y²-1)
其中y≥1
换符号即为：y＝±√(t²-1),其中t≥1