高中立体几何题已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分别是BC、PC的
高中立体几何题
已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分别是BC、PC的中点.若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为（√6）/2,求二面角E-AF-C的余弦值.
已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分别是BC、PC的中点.若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为（√6）/2,求二面角E-AF-C的余弦值.
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如图；AE⊥BC（三合一）,∴EA⊥PAD.作AH⊥PD. 则EH⊥PD.此时EH与平面PAD所成角最大,设AB＝2,则AE＝√3, √3/AH＝（√6）/2. AH＝√2.设AP＝x,看⊿PAD.AH×PD＝2x.即√2×√（x²+4）＝2x, 解得x＝2.⊿PAC等腰直角.注意PAC⊥ABCD,作EQ⊥AC.QO⊥AF.有EQ＝√3/2.QO＝CF-CQ/√2＝√2-1/（2√2）.tan∠QOE＝EQ/QO＝√（2/3）cos∠QOE＝√（3/5）,二面角E-AF-C的余弦值＝√（3/5）[注意EQ⊥PAC.∠∠QOE为二面角E-AF-C的平面角]
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