求2011全国数学竞赛模拟试题

211年全国初中数学竞赛模拟试题
班级__________学号__________姓名______________得分______________
一、选择题（本题满分30分,每小题5分）
1．99个连续自然数之和等于abcd．若a、b、c、d皆为质数,则a＋b＋c＋d的最小值等于 （ ）
（A）63 （B）70 （C）86 （D）97
2．设P、Q分别是单位正方形BC、CD边上的点,且△APQ是正三角形,那么正三角形的边长为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
3．实数a、b、c两两不等,且三点的坐标分别为：A（a＋b,c）,B（b＋c,a）,C（c＋a,b）,则这三点的位置关系是 （ ）
（A）组成钝角三角形 （B）组成直角三角形
（C）组成等边三角形 （D）三点共线
4．对任意给定的△ABC,设它的周长为l,外接圆半径为R,内切圆的半径为r,则 （ ）
（A）l＞R＋r （B）l≤R＋r （C） ＜R＋r＜6l （D）以上均不对
5．平面上有P、Q两点,以P为外心、Q为内心的三角形的数量为 （ ）
（A）只能画出一个 （B）可以画出2个 （C）最多画出3个 （D）能画无数个
6．如图,若将正方形分成k个全等的矩形,其中上、下各横排两个,中间竖排若干个,则k的值为 （ ）
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12
二、填空题（本题满分30分,每小题5分）
1．如图,梯形ABCD中,DC‖AB,DC∶AB＝1∶2,MN‖BD且平分AC．若梯形ABCD的面积等于 ,S△AMN＝ ,则 ＋ ＝__________．
2．不等式｜x＋7｜－｜x－2｜＜3的解是____________．
3．若自然数n能使〔 〕整除n,则n的所有表达式为_____________．
4．小李用5000元买了一年期的某种债券,到期后从本利和中支取2000元用于购物,把剩下的钱又买了这种一年期债券,若这种债券的利率不变,到期后得本利和为3498元,那么这种债券的年利率是__________．
5．圆内接凸四边形ABCD的边AB∶BC∶CD∶DA＝1∶9∶9∶8,AC交BD于P,则S△PAB∶S△PBC∶S△PCD∶S△PDA＝____________．
6．销售某种商品,如果单价上涨m%,则售出的数量就将减少 ．为了使该商品的销售总金额最大,那么m的值应该确定为____________．
三、解答题（本题满分60分,每小题20分）
1．如图,∠CAB＝∠ABD＝90o,AB＝AC＋BD,AD交BC于P,作⊙P使其与AB相切．试问：以AB为直径作出的⊙O与⊙P是相交?是内切?还是内含?请作出判断并加以证明．
2．设α、β是整系数方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根,且α2＋β2＜4,试求整数对（a,b）的所有可能值．
3．a、b、c为互不相等的数,若以下三个等式中有任意两个等式成立,求证：第三个等式也成立．
(b2＋bc＋c2)x2－bc(b＋c)x＋b2c2＝0；
(c2＋ca＋a2)x2－ca(c＋a)x＋c2a2＝0；
(a2＋ab＋b2)x2－ab(a＋b)x＋a2b2＝0．