已知函数f(x)=x²ln(ax)(a>0)

已知函数f(x)=x²ln(ax)(a>0)
(1)若f'(x)≤x²对任意的x>0恒成立,求实数a的取值范围
(2)当a=1,设函数g(x)=f(x)/x,若x1,x2∈(1/e,1),x1+x2<1,求证x1x2<(x1+x2)^4
李艳 1年前 已收到1个回答 举报

胜井邦彰 春芽

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(1)f'(x)=2xln(ax)+x(1分)f'(x)=2xln(ax)+x≤x2,即2lnax+1≤x在x>0上恒成立
设u(x)=2lnax+1-xu′(x)=
2
x
-1=0,x=2,x>2时,单调减,
x<2单调增,所以x=2时,u(x)有最大值u(2)(3分)
u(2)≤0,2ln2a+1≤2,所以0<a≤
e

2
(5分)
(2)当a=1时,g(x)=
f(x)
x
=xlnx,g(x)=1+lnx=0,x=
1
e
,
所以在(
1
e
,+∞)上g(x)是增函数,(0,
1
e
)上是减函数(6分)
因为
1
e
<x1<x1+x2<1,所以g(x1+x2)=(x1+x2)ln(x1+x2)>g(x1)=x1lnx1
即lnx1<
x1+x2
x1
ln(x1+x2)
同理lnx2<
x1+x2
x2
ln(x1+x2)(8分)
所以lnx1+lnx2<(
x1+x2
x2
+
x1+x2
x1
)ln(x1+x2)=(2+
x1
x2
+
x2
x1
)ln(x1+x2)
又因为2+
x1
x2
+
x2
x1
≥4,当且仅当“x1=x2”时,取等号(10分)
又x1,x2∈(
1
e
,1),x1+x2<1,ln(x1+x2)<0(11分)
所以(2+
x1
x2
+
x2
x1
)ln(x1+x2)≤4ln(x1+x2)
所以lnx1+lnx2<4ln(x1+x2)
所以:x1x2<(x1+x2)4(12分)

1年前

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