一道数学求极限lim(x>0) (tanx-sinx)/[(sinx)^3]=?一直化,还是0/0,求不出,求方法思路过

一道数学求极限
lim(x>0) (tanx-sinx)/[(sinx)^3]=?
一直化,还是0/0,求不出,求方法思路过程,
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abigwolf 春芽

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这是一个0/0型的极限题,极限包括0/0 无穷比无穷
这两种一般都可以通过对分子分母同时求导数求出
但是如果直接求导数往往比较麻烦,适当利用等价无穷小可以简化计算
比较难的题往往需要等价无穷小与求导结合使用才可以求出
因此记住一些常用的求等价无穷小非常重要
例如:sinx,x,tanx,e^x-1他们都是等价的无穷小1-cosx的等价无穷小是1/2x^2
在利用等价无穷小求极限时要注意不可以将两个和数或减数直接用等价无穷小替换
比如本题中tanx-sinx=sinx-sinx=0这样是错的
还有就是一些非零的乘数可以直接算出结果
等价无穷小只能替换乘数
例如本题
lim(x>0)(tanx-sinx)/[(sinx)^3]
=lim(x>0)(sinx/cosx-sinx)/[(sinx)^3]
=lim(x>0)[sinx*(1-cosx)]/{[(sinx)^3]*cosx}(这里的sinx是一个乘数可以用x代替,1-cosx可以用等价无穷小1/2x^2代替,cosx是一个非零的乘数可以直接写成1,这里要注意的是1-cosx不可以写成1-1=0这是因为1-cosx和在一起作为乘数)
=lim(x>0)[x*(1-cosx)]/x^3
=lim(x>0)(1-cosx)/x^2
=lim(x>0)(1/2x^2)/x^2
=1/2

1年前

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