如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=16cm，动点P从点A出发沿AC边以3cm/s的速度向点C运
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=16cm，动点P从点A出发沿AC边以3cm/s的速度向点C运动，动点Q从点C出发沿BC边以4cm/s的速度向点B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在运动过程中，△PCQ关于直线=PQ的对称的图形是△PDQ，设运动时间为t（s）．
（1）当t=
（2）当t为何值时，四边形PQBA是梯形？
（3）当t为何值时，使得PD∥AB？
（4）是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（1）当t=
[12/7]
[12/7]
，四边形PCQD是正方形；（2）当t为何值时，四边形PQBA是梯形？
（3）当t为何值时，使得PD∥AB？
（4）是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
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解题思路：（1）根据四边形PCQD是正方形时，∠PQC=45°，判断出PC=CQ，列出关于t的方程解答．
（2）要使四边形PQBA是梯形，则必有PQ∥AB，可得△CPQ∽△CAB，列出关于t的等式解答即可．
（3）延长PD交CB于点E，要使PD∥AB，则必有△PCE∽△ACB，△QDE∽△ACB，根据相似三角形的性质列出等式解答即可．
（4）延长PD交AB于点F，过点Q作QG⊥AB于点G，PC=PD=12-3t，QB=16-4t．根据△APF∽△ACB，△QBG∽△ACB，列出关系式解答．
（2）要使四边形PQBA是梯形，则必有PQ∥AB，可得△CPQ∽△CAB，列出关于t的等式解答即可．
（3）延长PD交CB于点E，要使PD∥AB，则必有△PCE∽△ACB，△QDE∽△ACB，根据相似三角形的性质列出等式解答即可．
（4）延长PD交AB于点F，过点Q作QG⊥AB于点G，PC=PD=12-3t，QB=16-4t．根据△APF∽△ACB，△QBG∽△ACB，列出关系式解答．
（1）当四边形PCQD是正方形时，∠PQC=45°，
此时，PC=CQ，
即12-3t=4t，
解得t=[12/7]；
故答案为[12/7]．
（2）如图1：当t=2时，四边形PQBA是梯形．
理由如下：A要使四边形PQBA是梯形，则必有PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∵PC=12-3t，CQ=4t，
∴[12−3t/12]=[4t/16]，
解得t=2．
（3）如图2
，当t=[12/11]时，使得PD∥AB．
理由如下：延长PD交CB于点E，要使PD∥AB，则必有△PCE∽△ACB，△QDE∽△ACB，
∴[PE/AB]=[PC/AC]=[CE/CB]，
∴[PE/20]=[12−3t/12]=[CE/16]，
∴PE=20-5t，CE=16-4t，
∴DE=8-2t，
∵△QDE∽△ACB，
∴[QD/AC]=[DE/CB]，
∴[4t/12]=[8−2t/16]，
∴t=[12/11]．
（4）延长PD交AB于点F，过点Q作QG⊥AB于点G，PC=PD=12-3t，QB=16-4t．要使PD⊥AB，则必有PF⊥AB，
∴△APF∽△ACB，△QBG∽△ACB，
∴[PF/3t]=[4/5]，
∴PF=[12/5]t，
∴DF=[27/5]t-12，
∵[16−4t
27t/5−12]=[5/3]，
∴t=[36/13]．
点评：
本题考点： 相似形综合题．
考点点评： 本题考查了相似性综合题，涉及正方形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质，综合性强，有一定难度．
1年前
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