已知函数f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），若a＞0，b＞0，证明：alna+blnb≥（a+b）ln[a+b

解题思路：通过函数的导数，利用函数的最小值，然后证明：对a＞0，b＞0，都有alna+blnb≥（a+b）ln[a+b/2]；

∵f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），
∴f′（x）=lnx-ln（4-x）=ln[x/4−x]．
∴当x=2时，函数f（x）有最小值．a＞0，b＞0，
不妨设a+b=4，
则alna+blnb=alna+（4-a）ln（4-a）≥2•[a+b/2]ln（[a+b/2]）=（a+b）ln[a+b/2]．
∴alna+blnb≥（a+b）ln[a+b/2]．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题考查函数的导数的应用，不等式的证明方法，考查转化思想的应用．

已知函数f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x）若a＞0，b＞0，证明：alna+blnb＞=(a+b)lna+b／2
证明：∵函数f(x)=xlnx+(4-x)ln(4-x)
F(4-x)= (4-x)ln(4-x)+xlnx
∴f(x)=f(4-x)，函数f(x)关于直线x=2对称
或
令f’(x)=lnx-ln(4-x)=0==>x=2
f...