已知函数f（x）= (x-k ) 2 e x k ．

（1）f′（x）=
1
k ( x 2 - k 2 ) e
x
k ，
令f′（x）=0得x=±k…．（3分）
当k＞0时，f（x）在（-∞，-k）和（k，+∞）上递增，在（-k，k）上递减；
当k＜0时，f（x）在（-∞，k）和（-k，+∞）上递减，在（k，-k）上递增…（8分）
（2）当k＞0时，f（k+1）= e
k+1
k ＞
1
e ，所以不可能对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≤
1
e ；
当k＜0时，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（-k）=
4 k 2
e ，所以对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≤
1
e
即
4 k 2
e ≤
1
e ，∴ -
1
2 ≤k＜0 ，
故对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≤
1
e 时，k的取值范围为[-
1
2 ，0）．…．（14分）