（2009•陕西）已知函数f（x）=sx2−72−x，x∈[0，l]，

解题思路：（1）先对函数f（x）=

4x2−7

2−x

，x∈[0，1]，求导，先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值，即可得到答案．
（II）先对函数g（x）求导，则g′（x）=3（x²-a²）．利用导数求出函数g（x）的取值范围，即当x∈[0，1]时有g（x）∈[1-2a-3a²，-2a]，最后依据题意：“任给x₁∈[0，1]，f（x₁）∈[-4，-3]，存在x₀∈[0，1]使得g（x₀）=f（x₁），”得到：[1-2a-3a²，-2a]⊃[-4，-3]，从而列出不等关系求得a的取值范围即可．

（1）对函数f（x）=
4x了−7
了−x，x∈[c，1]，求导，得
f′（x）=
−4x了+16x−7
(了−x)了=-
(了x−1)(了x−7)
(了−x)了，
令f′（x）=c解得x=
1
了或x=
7
了．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：

所以，当x∈（c，
1
了）时，f（x）是减函数；当x∈（
1
了，1）时，f（x）是增函数．
当x∈[c，1]时，f（x）的值域是[-4，-3]．
（地地）对函数g（x）求导，则g′（x）=3（x^了-a^了）．
因为a≥1，当x∈（c，1）时，g′（x）＜了（1-a^了）≤c，
因此当x∈（c，1）时，g（x）为减函数，
从而当x∈[c，1]时有g（x）∈[g（1），g（c）]，
又g（1）=1-了a-3a^了，g（c）=-了a，
即当x∈[c，1]时有g（x）∈[1-了a-3a^了，-了a]，
任给x₁∈[c，1]，f（x₁）∈[-4，-3]，存在x_c∈[c，1]使得g（x_c）=f（x₁），
则[1-了a-3a^了，-了a]⊃[-4，-3]，即

1−了a−3a了≤−4①
−了a≥−3②，
解①式得a≥1或a≤-
了
3，
解②式得a≤
3
了，
又a≥1，故a的取值范围内是1≤a≤
3
了．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数恒成立问题、利用导数求闭区间上函数的最值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．