设抛物线的顶点为O,经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B,C,经过抛物线上一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q,求证:|

设抛物线的顶点为O,经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B,C,经过抛物线上一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q,求证:|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项.
5weq 1年前 已收到1个回答 举报

无语凭栏杆 幼苗

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解题思路:设设抛物线为y2=2px(p>0),可求得|BC|=2p,设P(2pt2,2pt),则Q(2pt2,0),可求得|PQ|与|OQ|,从而可证得|BC|×|OQ|=|PQ|2

证明:设抛物线为y2=2px(p>0).则焦点F([p/2],0),
依题意,B,C的坐标可由

x=
p
2
y2=2px(p>0)得:y2=p2,y=p或-p,
∴B([p/2],p),C([p/2],-p),|BC|=p-(-p)=2p;
设P(2pt2,2pt),则Q(2pt2,0),
∴|PQ|=|2pt|,|OQ|=2pt2
|BC|×|OQ|=2p×2pt2=4p2t2=(2pt)2=|PQ|2
∴|PQ|是|BC|和|OQ|的等比中项.

点评:
本题考点: 抛物线的简单性质;等比关系的确定.

考点点评: 本题考查抛物线的简单性质,考查等比关系的确定,求得|BC|、|PQ|、|OQ|的值是关键,考查分析与推理证明的能力,属于中档题.

1年前

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