设B是m×n实矩阵,A=B'B,证明R(A)=R(B) 且A的特征值大于等于0

(1) 要证明R(A)=R(B),只需证明方程组
BX=0与B'BX=0同解就可以了.
下证BX=0与B'BX=0同解.
显然,BX=0与B'BX=0都是n元齐次线性方程组,
设X0是BX=0的任意解,
则B(X0)=0
故B'B(X0)=0
所以X0也是方程组B'BX=0的解,由X0的任意性知BX=0的所有解都是B'BX=0的解,
反之,设Y是方程组B'BX=0的任意解,则
B'BY=0
故Y'B'BY=0
(BY)'(BY)=0
所以BY=0
可见Y也是方程组BX=0的解,
所以,由Y的任意性知B'BX=0的所有解都是BX=0的解,
故两个方程组同解.从而有相同的基础解系.
故基础解系中所含解向量的个数相等,设为s.
从而其系数矩阵的秩也相等,都为n-s
即R(B)=R(B'B)=R(A)
(2)因为A=B'B对应的二次型为
X'AX=X'B'BX=(BX)'(BX)≥0
即二次型为半正定的,所以A的特征值大于等于0.