若1／x＋1／y＋1／z＝1／[x＋y＋z]＝1,说明：x,y,z中有一个等于1

fg7173791 1年前 已收到3个回答 举报
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xiaox1985 春芽

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证明：∵x+y+z=1
∵1/x+1/y+1/z=1=1/（x+y+z)
∴(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=1
∴(x+y+z)(yz+zx+xy)-xyz=0
∴(x+y+z)[y(x+z)+zx(x+y+z)]-xyz=0
∴(x+y+z)y(x+z)+zx(x+z)=0
∴(x+z)(xy+y^2+yz+xz)=0
∴(x+z)(x+y)(y+z)=0
∴(1-y)(1-z)(1-x)=0
∴x,y,z 中至少有一个等于1

1年前

8

八百公尺河 幼苗

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1/(x+y+z)=1则x+y+z=1
1/x+1/y+1/z=1则xyz=xy+yz+xz
而x=1-y-z因此(1-y-z)yz=(1-y-z)(y+z)+yz
移项得 -(y+z)yz=(1-y-z)(y+z)
所以要么y+z=0 证出x=1-y-z=1
要么-yz=1-y-z ，y-yz=1-z ，y(1-z)=1-z 得...

1年前

2

老实人都吃亏啊 幼苗

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由题知x+y+z=1
则 y+z=1-x
1/x+1/y+1/z=1
xy+xz+zy=xyz
x(y+z)+zy=xyz
(x-1)(yz+x)=0
若x-1=0 则得证
若 yz+x=0
则xy+xz-x=-x^2
y+z-1=-x
y+z-1=zy
(z-1)(y-1)=0
则得证

1年前

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