（本小题满分13分）(第一问8分，第二问5分)
| （本小题满分13分）(第一问8分，第二问5分) 已知函数 f ( x )＝2ln x ， g ( x )＝  ax 2 ＋3 x .（1）设直线 x ＝1与曲线 y ＝ f ( x )和 y ＝ g ( x )分别相交于点 P 、 Q ，且曲线 y ＝ f ( x )和 y ＝ g ( x )在点 P 、 Q 处的切线平行，若方程 f ( x 2 ＋1)＋ g ( x )＝3 x ＋ k 有四个不同的实根，求实数 k 的取值范围；（2）设函数 F ( x )满足 F ( x )＋ x ［ f ′( x )－ g ′( x )］＝－3 x 2 －( a ＋6) x ＋1.其中 f ′( x )， g ′( x )分别是函数 f ( x )与 g ( x )的导函数；试问是否存在实数 a ，使得当 x ∈(0,1］时， F ( x )取得最大值，若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由. |
赞 yyzhao123 春芽
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（1） f ′(1)＝2，且 P (1,0)，∴ f ( x )在 P 点处的切线方程为 y ＝2( x －1)，
即2 x － y －2＝0…………………………………………………………………………（2分）
又 g ′(1)＝ a ＋3，∴ a ＝－1.…………………………………………………………（3分）
故 g ( x )＝－ x 2 ＋3 x ，则方程 f ( x 2 ＋1)＋ g ( x )＝3 x ＋ k 可化为
ln( x 2 ＋1)－ x 2 ＝ k .令 y 1 ＝ln( x 2 ＋1)－ x 2 ，则
＝
－ x ＝－
令 ＝0得 x ＝－1,0,1.因此 及 y 的变化情况如下表：
x
(－∞,－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,＋∞)
＋
0
－
0
＋
0
－
y
极大值
极小值
即2 x － y －2＝0…………………………………………………………………………（2分）
又 g ′(1)＝ a ＋3，∴ a ＝－1.…………………………………………………………（3分）
故 g ( x )＝－
x 2 ＋3 x ，则方程 f ( x 2 ＋1)＋ g ( x )＝3 x ＋ k 可化为ln( x 2 ＋1)－
x 2 ＝ k .令 y 1 ＝ln( x 2 ＋1)－ x 2 ，则
＝
－ x ＝－
令
＝0得 x ＝－1,0,1.因此 及 y 的变化情况如下表：x
(－∞,－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,＋∞)
＋
0
－
0
＋
0
－
y
极大值
极小值
1年前
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