2007的2007次方除以13的余数是多少

2007的2007次方
=(154*13+5)^2007
=(154*13)^2007+2007*5*(154*13)^2006+...+2007*(154*13)*5^2006+5^2007
除了最后一项外,都是13的倍数
现在考虑5^2007=5*25^1003
=5*(13*2-1)^1003
=5[(13*2)^1003-1003*(13*2)^1002+.+1003*(13*2)*1^1002-1]
考虑最后两项5(2006*13-1)=5*2006*13-5
=10030*13-5=10029*13+13-5
=10029*13+8
所以除以13的余数是8

2007^2007=(154*13+5)^2007=13m+5^2007 (m为整数)故2007^2007/13与5^2007/13同余。
5^n/13(n为非0自然数)从n=1起每四个一周期余数分别是5、12、8、1。 2007/4=501……3
故2007^2007/13的余数为8。