设f（x）在[0，1]上二阶可导，且f（0）=f（1）=0．f（x）在[0，1]上的最小值是-1，试证至少存在一点ξ∈（

解题思路：首先，由于可导和端点的函数值为0，得出最小值点一定是驻点；然后在0到驻点，驻点到1这两个区间上使用拉格朗日中值定理，得到两个一阶导数的值；最后，在这两个一阶导数的点所构成的区间上使用拉格朗日中值定理，得出结论．

证明：设f（x）在点x₀处取得极小值，即f（x₀）=-1，则f′（x₀）=0
由题意，f（x）在[0，x₀]和[x₀，1]都满足拉格朗日中值定理的条件
∴分别至少存在点ξ₁∈（0，x₀）和ξ₂∈（x₀，1），使得

f(x0)−f(0)
x0＝f′(ξ1)，
f(1)−f(x0)
1−x0＝f′(ξ2)
而f（0）=f（1）=0
∴f′(ξ1)＝−
1
x0，f′(ξ2)＝
1
1−x0
又由f（x）在[0，1]上二阶可导
∴f′（x）在[ξ₁，ξ₂]上也满足拉格朗日中值定理
即至少存在点ξ∈（ξ₁，ξ₂）⊂（0，1），使得

f′(ξ2)−f′(ξ1)
ξ2−ξ1＝f″(ξ)
∴f″(ξ)＝
1
x0(1−x0)•
1
ξ2−ξ1
而x0(1−x0)＝−(x0−
1
2)2+
1
4≤
1
4
ξ₂-ξ₁≤
1
2
∴f″（ξ）≥4•2=8
得证

点评：
本题考点： 拉格朗日中值定理及推论的应用．

考点点评： 此题考查拉格朗日中值定理的使用，只要满足条件就可以持续使用．