已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<ϕ<π),在一周期内,当x=[π/12]时,y取得最大值3,

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<ϕ<π),在一周期内,当x=[π/12]时,y取得最大值3,当x=[7π/12]时,y取得最小值-3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)当x∈[−
π
4
π
4
]
时,求函数f(x)的最值及对应x的值.
郑云天 1年前 已收到1个回答 举报

jihong_guo 幼苗

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解题思路:(1)依题意,可求得A=3,由周期T=π可求得ω=2,ω×
π/12]+φ=2kπ+[π/2](k∈Z),0<ϕ<π可求得φ,从而可得函数f(x)的解析式;
(2)利用正弦函数的单调性,由2kπ-[π/2]≤2x+[π/3]≤2kπ+[π/2](k∈Z)即可求得函数f(x)的单调递增区间;
(3)x∈[-[π/4],[π/4]]⇒2x+[π/3]∈[-[π/6],[5π/6]]⇒f(x)=3sin(2x+[π/3])∈[-[3/2],3],从而可求x∈[-[π/4],[π/4]]时函数f(x)的最值及对应x的值.

(1)由题设知,A=3,
周期[T/2]=[7π/12]-[π/12]=[π/2],T=π,又ω>0,
∴ω=[2π/π]=2,
∴f(x)=3sin(2x+φ),
又x=[π/12]时,y取得最大值3,
∴ω×[π/12]+φ=2kπ+[π/2](k∈Z),
∴φ=2kπ+[π/3](k∈Z),
∵0<ϕ<π,
∴φ=[π/3].
∴f(x)=3sin(2x+[π/3])
(2)由2kπ-[π/2]≤2x+[π/3]≤2kπ+[π/2](k∈Z),
得kπ-[5π/12]≤x≤kπ+[π/12](k∈Z),
∴f(x)的单调递增区间为[kπ-[5π/12],kπ+[π/12]](k∈Z).
(3)∵x∈[-[π/4],[π/4]],
∴2x+[π/3]∈[-[π/6],[5π/6]]
∴f(x)=3sin(2x+[π/3])∈[-[3/2],3].
当2x+[π/3]=[π/2]时,即x=[π/12]时,f(x)取得最大值为3;
当2x+[π

点评:
本题考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

考点点评: 本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象确定函数解析式,着重考查正弦函数的单调性与最值,属于中档题.

1年前

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