设f（x）=log a （x+1），g（x）=log a （t-x），a＞0且a≠1，且F（x）=f（x）-g（x）是奇

（1）∵a=2，∴关于x的不等式 f(x)-1＞lo g a
x-1
x-2 ，
即 log 2
1+x
2 ＞ lo g 2
x-1
x-2 ，
∴
x+1
2 ＞
x-1
x-2 ＞0，
∴


x+1
2 -
x-1
x-2 ＞0

x-1
x-2 ＞0 ，


x 2 -3x
2(x-2) ＞0
x＞2或x＜1 ，

x＞3或0＜x＜2
x＞2或x＜1 ，
解得 x＞3，或 0＜x＜1，故不等式的解集为{x|x＞3，或 0＜x＜1 }．
（2）∵F（x）=f（x）-g（x）=log _a （x+1）-log _a （t-x）= log a
1+x
t-x 是奇函数，
故有 F（0）=0= log a
1
t ，∴t=1，∴F（x）= log a
1+x
1-x ．
由
1+x
1-x ＞0 解得-1＜x＜1，故F（x）的定义域为（-1，1）．
由于h（x）=
1+x
1-x 在（-1，1）上单调递增，故当a＞时，F（x）单调递增；当0＜a＜1时，F（x）单调递减．
证明：设-1＜x ₁ ＜x ₂ ＜1，
∵h（x ₁ ）-h（x ₂ ）=
1+ x 1
1- x 1 -
1+ x 2
1- x 2 =
(1+ x 1 )(1- x 2 )-(1+ x 2 )(1- x 1 )
(1- x 1 )(1- x 2 ) =
2 x 1 - 2x 2
(1- x 1 )(1- x 2 ) ，
由-1＜x ₁ ＜x ₂ ＜1，可得2x ₁ -2x ₂ ＜0，（1-x ₁ ）（1-x ₂ ）＞0，
∴
2 x 1 - 2x 2
(1- x 1 )(1- x 2 ) ＜0，h（x ₁ ）＜h（x ₂ ），故h（x）=
1+x
1-x 在定义域（-1，1）上单调递增，
故当a＞时，F（x）单调递增；当0＜a＜1时，F（x）单调递减．