设f（x）=3ax 2 -2bx+c，若a-b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．

证明：（1）f（0）=c＞0①，
f（1）=3a-2b+c＞0②，a-b+c=0③，
由①③得：a-b＜0⇒a＜b④，由②③得：2a-b＞0⇒2a＞b⑤，
由④⑤得：2a＞b＞a⑥，∵b=a+c代入②得：a＞c∴a＞0
∴由⑤得： 1＜
b
a ＜2 …（4分）
∵对称轴 x=
b
3a ∈(
1
3 ，
2
3 ) ，
又f（0）＞0，f（1）＞0
且△=4b ² -12ac=4（a+c） ² -12ac=（2a-c） ² +3c ² ＞0
∴方程f（x）=0在（0，1）内有两个不等实根．…（10分）
（2）若a，b，c都为正整数，f（0）、f（1）都是正整数，
设f（x）=3a（x-x ₁ ）（x-x ₂ ），其中x ₁ ，x ₂ 是f（x）=0的两根，
则x ₁ ，x ₂ ∈（0，1），且x ₁ ≠x ₂
∵ 1≤f(0)f(1)=9 a 2 x 1 (1- x 1 ) x 2 (1- x 2 )＜
9 a 2
16
∴9a ² ＞16，a为正整数，
∴a≥2，
∴a+b+c≥2+（2+c）+c=4+2c≥6…（15分）
若取a=2，则
b
a =
b
2 ∈(1，2) 得：b∈（2，4）
∵b为正整数，∴b=3，c=b-a=1f（x）=6x ² -6x+1=0的两根都在区间（0，1）内，
∴a+b+c的最小值为6．…（18分）