(2008•山东)甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者对本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每

(2008•山东)甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者对本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为[2/3],乙队中3人答对的概率分别为[2/3,
2
3
1
2],且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分.
(Ⅰ)求随机变量ξ的分布列和数学期望;
(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB).
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a24534b31b0b3082 幼苗

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解题思路:(1)由题意甲队中每人答对的概率均为[2/3],故可看作独立重复试验,故ξ~B(3,
2
3
)
Eξ=3×
2
3
=2

(2)AB为“甲、乙两个队总得分之和等于3”和“甲队总得分大于乙队总得分”同时满足,有两种情况:“甲得(2分)乙得(1分)”和“甲得(3分)乙得0分”这两个事件互斥,分别求概率,再取和即可.

(Ⅰ)解法一:由题意知,ξ的可能取值为0,1,2,3,且P(ξ=0)=
C03×(1−
2
3)3=
1
27,P(ξ=1)=
C13×
2
3×(1−
2
3)2=
2
9,P(ξ=2)=
C23×(
2
3)2×(1−
2
3)=
4
9,P(ξ=3)=
C33×(
2
3)3=
8
27.
所以ξ的分布列为

ξ的数学期望为Eξ=0×
1
27+1×
2
9+2×
4
9+3×
8
27=2.

解法二:根据题设可知,ξ~B(3,
2
3),
因此ξ的分布列为P(ξ=k)=
Ck3×(
2
3)k×(1−
2
3)3−k=
Ck3×
2k
33,k=0,1,2,3.
因为ξ~B(3,
2
3),所以Eξ=3×
2
3=2.
(Ⅱ)解法一:用C表示“甲得(2分)乙得(1分)”这一事件,用D表示“甲得(3分)乙得0分”这一事件,所以AB=C∪D,且C,D互斥,又P(C)=
C23×(
2
3)2×(1−
2
3)×[
2

1

1
2+

点评:
本题考点: 离散型随机变量及其分布列;互斥事件的概率加法公式.

考点点评: 本题考查独立重复试验、二项分布、期望、及互斥事件、独立事件的概率问题,同时考查利用概率知识分析问题解决问题的能力.在求解过程中,注意P(AB)=P(A)P(B)只有在A和B独立时才成立.

1年前

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