冥界游混 幼苗
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证明:(1)由已知f(x+y)=f(x)+f(y),
令x=y=0得f(0)=0,
(2)令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),
∴f(x)+f(-x)=0,
∴f(x)为奇函数.
(2)设x1,x2是 (-∞,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2,
∵x2-x1>0,f(x2-x1)>0,
由(1)知f(x)为奇函数,
∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)>0,
∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)在R上为增函数;
(4)令x=y=1,得f(2)=2f(1)=2,
再令x=1,y=2.得f(3)=f(2)+f(1)=2+1=3,
∴f(-3)=-f(3)=-3,
又f(x)在R上为增函数减函数,当-3≤x≤3时,
f(x)在[-3,3]上的最大值为:f(3)=3,最小值为:f(-3)=-3,
∴f(x)的取值范围为[-3,3]
点评:
本题考点: 抽象函数及其应用;函数的值域;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
考点点评: 本题考查的是抽象函数,涉及到其单调性和最值,解决这类问题关键是利用好条件,将问题转化到函数性质的定义上去应用.
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