如图,已知a、b是两条相互垂直的异面直线,其公垂线段AB的长为定值m
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定长为n(n>m)的线段PQ的两个端点分别在a,b上移动,M、N分别是AB、PQ的中点.求证：MN的长为定值
定长为n(n>m)的线段PQ的两个端点分别在a,b上移动,M、N分别是AB、PQ的中点.求证：MN的长为定值
赞 刘拴柱 幼苗
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证明：以A为原点,以a为x轴,以平行于b且过点A的直线为y轴,以直线AB为z轴建立直角坐标系,则各点的坐标为：
A(0,0,0)、B(0,0,m)、P(x,0,0)、Q(0,y,m)
而|PQ|^2=x^2+y^2+m^2=n^2,即x^2+y^2=n^2-m^2.
AB的中点M的坐标为(0,0,m/2),
PQ的中点N的坐标为(x/2,y/2,m/2),
则|MN|^2=(x/2-0)^2+(y/2-0)^2+(m/2-m/2)^2
=x^2/4+y^2/4
=( n^2-m^2)/4
则MN的长为定值[根号( n^2-m^2)]/2.
A(0,0,0)、B(0,0,m)、P(x,0,0)、Q(0,y,m)
而|PQ|^2=x^2+y^2+m^2=n^2,即x^2+y^2=n^2-m^2.
AB的中点M的坐标为(0,0,m/2),
PQ的中点N的坐标为(x/2,y/2,m/2),
则|MN|^2=(x/2-0)^2+(y/2-0)^2+(m/2-m/2)^2
=x^2/4+y^2/4
=( n^2-m^2)/4
则MN的长为定值[根号( n^2-m^2)]/2.
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