如图，在直角坐标平面内，O为原点，已知抛物线y=x2+bx+3经过点A（3，0），与y轴的交点为B，设此抛物线的顶点为C

（1）∵抛物线y=x²+bx+3经过点A（3，0），
∴9+3b+3=0，
解得：b=-4，
∴此抛物线的解析式为：y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴此抛物线的顶点为C的坐标为（2，-1）；
（2）∵点C₁与C关于x轴对称，
∴点C₁的坐标为（2，1），
∵当x=0时，y=3，
∴点B的坐标为（0，3），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴

b=3
3k+b=0，
解得：

k=-1
b=3，
∴直线AB的解析式为：y=-x+3，
∵-2+3=1，
∴点C₁在直线AB上；
（3）存在．
如图1，若BD∥OC₁，
∵直线OC₁的解析式为：y=[1/2]x，
∴设直线BD的解析式为：y=[1/2]x+b，
则b=3，
∴直线BD的解析式为：y=[1/2]x+3，
设点D（a，[1/2]a+3），
∵AB=C₁D，
∴（a-2）²+（[1/2]a+3-1）²=9，
∴a=-[2/5]（不合题意，舍去）或a=2（此题是平行四边形，舍去）；
如图2，当DC₁∥OB，
过点D作DE⊥OB于E，过点C作FC⊥x轴于F，
∵四边形OC₁DB是等腰梯形，
∴BE=CF=1，DE=OF=2，
∴CD=OB-2BE=3-2=1，
∴DF=2，
∴点D的坐标为（2，2）．
故带D的坐标为（2，2）．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了待定系数法求函数的解析式，等腰梯形的性质，平行线的性质以及点与函数的关系．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．