矩阵A的平方等于LA,r(A)=1,则L具有什么性质

秩为1的矩阵有个特点,就是一定可以写成一个列向量乘以一个行向量
设A=αβ’（α,β都是列向量）
则A^2=αβ’αβ’=α(β’α)β’
注意到,(β’α)正好是A的迹tr(A) （把A写出来很容易看出来）
所以秩为1的矩阵有性质：A^2=tr(A)A
知道了这个接下来就好办了
A^2=LA 其实就是
tr(A)A=LA
L就是这个性质呗,即：L对A左作用后得到常数tr(A)再乘以A这个矩阵
所以L相对于A是一个乘法算子.
A的n次方当然也行啦.利用A=αβ’容易知道,A^n=[tr(A)]^(n-1)A
其实和A就相差一个常数倍,所以是一回事!

A的平方是LA，说明A是方阵
而r(A)=1
说明它可以化成只有一行是非全0的
A就不是对称的了
例如A=[{a,b},{0,0}],A^2=[{a^2,ab},{0,0}]
有L=a
如果A=[{a,b,c},{0,0,0},{0,0,0}]
A^2=[{a^2,ab,ac},{0,0,0},{0,0,0}]
这时,有L=a

L是数字还是矩阵？
是数字的话，L就直接是A的迹tr(A)（对角线元素的和）
是矩阵的话，L满足LA=tr(A)A
一楼已经写的很详细了，其实直接认为L是矩阵就可以了，因为这种情况包括了数字的情形