转动惯量的基本概念与计算公式
转动惯量，又称惯性矩，是描述刚体绕轴转动时其惯性大小的物理量，其地位相当于平动中的质量。它的大小不仅与物体的总质量有关，更取决于质量的分布以及转轴的位置。质量离转轴越远，转动惯量就越大。计算转动惯量的基本公式为：对于离散质点系，转动惯量 I = Σ m_i * r_i²，即所有质点的质量（m_i）与其到转轴垂直距离（r_i）平方的乘积之和。对于质量连续分布的刚体，则需要使用积分形式：I = ∫ r² dm，其中积分遍及整个刚体。
常见规则形状的转动惯量计算
对于形状规则的刚体，其转动惯量已有标准公式。例如，质量为m、半径为R的均质薄圆环，绕通过中心且垂直于环面的轴转动时，其转动惯量为 I = mR²。而同样质量的均质薄圆盘（或圆柱），绕其中心几何轴转动的惯量为 I = (1/2)mR²。对于长度为L、质量为m的均质细杆，绕通过其一端且垂直于杆的轴转动时，惯量为 I = (1/3)mL²；若绕通过杆中心（质心）的轴转动，则惯量减小为 I = (1/12)mL²。这些公式是解决许多物理和工程问题的基础。
平行轴定理与计算技巧
当转轴不通过刚体质心时，计算转动惯量会变得复杂。此时，平行轴定理提供了极大的便利。该定理指出：刚体绕任意轴的转动惯量 I，等于刚体绕通过其质心且与该轴平行的轴的转动惯量 I_c，加上刚体质量 m 与两平行轴之间距离 d 的平方的乘积，即 I = I_c + md²。例如，要计算均质细杆绕其一端轴的转动惯量，可先利用公式求出绕质心轴的惯量 (1/12)mL²，再根据平行轴定理加上 m*(L/2)²，即可得到 (1/3)mL²。掌握基本形状的质心轴惯量公式和平行轴定理，是计算复杂系统转动惯量的关键。