逃逸速度公式v=√(2GM/R)的推导
逃逸速度是指一个物体从某天体表面出发，为能摆脱该天体引力束缚所需的最小初始速度。其经典公式为 v = √(2GM/R)，其中G为万有引力常数，M为天体质量，R为天体半径。这个公式的推导基于经典力学中的能量守恒原理。
推导过程：从能量守恒出发
推导的核心思想是：物体在天体表面的初始动能，必须足以克服从该处到无穷远处引力势能的增加。根据万有引力定律，质量为m的物体在距天体中心距离r处所具有的引力势能为 E_p = -GMm/r（规定无穷远处势能为零）。在星球表面(r=R)，物体具有的机械能为初始动能与势能之和：E_initial = (1/2)mv² - GMm/R。当物体恰好能到达无穷远处时，其速度降为零，此时机械能 E_final = 0。根据机械能守恒定律 E_initial = E_final，得到 (1/2)mv² - GMm/R = 0。将质量m约去，即可解出逃逸速度 v = √(2GM/R)。
公式的讨论与意义
值得注意的是，公式推导中假设了天体是球对称且无自转、无大气阻力的理想情况。公式表明，逃逸速度只取决于天体的质量M和半径R，与逃逸物体本身的质量无关。对于地球，代入M≈5.97×10²⁴ kg，R≈6371 km，G≈6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²，可计算出地球的逃逸速度约为11.2 km/s。这个公式是理解航天发射、黑洞视界（史瓦西半径）等概念的重要基础，它简洁地揭示了引力强度与逃离所需能量之间的根本关系。