如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，点P、Q分别在AC、BC边上（点P不与A、C重合），且PQ∥AB．

解题思路：（1）先根据三角形周长的定义及已知条件△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等得到点P、Q分别是AC边、BC边的中点，证明△CPQ∽△CAB，再由相似三角形的对应边成比例即可求出CP的长；
（2）首先假设在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形，然后分三种情况进行讨论：①∠QPM=90°；②∠PQM=90°；③∠PMQ=90°．针对每一种情况，都可利用相似三角形的对应边成比例得到关系式，如果求出的PQ的长符合题意，则存在，否则不存在．

（1）∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等，∴PC+CQ=PA+AB+QB=12（AB+BC+AC）=6，∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC．∴CPCA=CQCB，即CP4=6−CP3，解得：CP=247；（4分）（2）存在点M，使得△PMQ为等腰直角三角形．①当∠QP...

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形．

考点点评： 本题考查了相似三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，综合性较强，难度中等．要注意的是（2）中，要根据直角顶点的不同位置进行分类求解．