关于同济版高数132页的那个例1

关于同济版高数132页的那个例1
证明当x>0时,
x/(1+x) < ln(1+x) < x
大概是怎么样证明?
奇中 1年前 已收到1个回答 举报

我为入眠迷 幼苗

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分别另f(x)=ln(1+x)-x/(1+x)和g(x)=x-ln(1+x)
x>0时f(x)和g(x)都是连续、可导的
然后分别求f'(x)和g'(x)在x>0时都是大于0的,就表示f(x)和g(x)都是增函数,不等式就成立

1年前 追问

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请问可以详细点吗?我高数很差、= =~!!

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化简: f(x)=ln(1+x)-(1+x-1)/(1+x) =ln(1+x)-1+1/(1+x) 求导: f'(x)=1/(1+x)-1/(1+x)^2 =x/(1+x)^2 g'(x)=1-1/(1+x) =x/(1+x) 当x>0时f'(x)和g'(x)都大于0 所以表示f(x)和g(x)都是增函数 当x->0时f(x)和g(x)极限都是0 所以f(x)和g(x)恒大于0 所以不等式成立。 怎么样?还有疑问吗?

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课本是用拉格朗日中值定理来做的.那个很难理解,呵呵,

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拉格朗日。。。 另f(x)=ln(1+x) 当x>0时f(x)=ln(1+x)在[0,x]上连续,在(0,x)上可导,这满足拉格朗日的条件。 所以存在0

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因为0

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这三个分式分子都是x,而且大于0,那么分母越大则分式越小 你只要比较1+x、1+a、1+0的大小就很容易得出 x/(1+x)
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