近世代数 欧式环的证明证明 Z[√2]是一个欧式环

对任意给定的A=a+b√2,任取d=s+t√2,(这里a,b,x,y都是属于Z的).
设范数N(A)=√(a^2+2b^2)
只要找到到A`=a1+b1√2,使得:
A=A'*d+r.
其中r=r1+r2√2属于Z[√2],
并且N(d)>N(r)>=0:由于总有A`和r使得上面的式子成立,因此我们只要证明有A'满足
N(d)>N(r)即可.
证明:
由于N(.)在Q(√2)上有:
N(a/b)=N(a)/N(b),a,b属于Q.特别地当a,b为整数是等号成立
因此:
N(r/d)=N(r)N(1/d)=N(r)/N(d)