设f（x）=ax2+bx+c，若f（1）=[7/2]，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式x2+[1/2]≤f（x）≤2

由f（1）=[7/2]，得a+b+c=[7/2]．令x²+[1/2]=2x²+2x+[3/2]⇒x=-1．
由f（x）≤2x²+2x+[3/2]推得f（-1）≤[3/2]，
由f（x）≥x²+[1/2]推得f（-1）≥[3/2]，
∴f（-1）=[3/2]．
∴a-b+c=[3/2]．故a+c=[5/2]且b=1．
∴f（x）=ax²+x+[5/2]-a．
依题意ax²+x+[5/2]-a≥x²+[1/2]对一切x∈R都成立，
∴a≠1且△=1-4（a-1）（2-a）≤0．
由a-1＞0得a=[3/2]．
∴f（x）=[3/2]x²+x+1．
证明如下：[3/2]x²+x+1-2x²-2x-[3/2]=-[1/2]x²-x-[1/2]=-[1/2]（x+1）²≤0．
∴[3/2]x²+x+1≤2x²+2x+[3/2]对x∈R都成立．
∴存在实数a=[3/2]，b=1，c=1，
使得不等式x²+[1/2]≤f（x）≤2x²+2x+[3/2]对一切x∈R都成立．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查了函数恒成立问题，难度一般，关键是先求出f（x）的解析式再证明．