（2014•河南二模）衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（
（2014•河南二模）衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰．若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求获得参赛资格的人数；
（Ⅱ）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；
（Ⅲ）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为[1/9]，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望．
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解题思路：（I）利用频率分布直方图能求出获得参赛资格的人数．
（II）利用频率分布直方图能求出这500名测试学生的平均成绩．
（III）由题设条件求出甲答对每一道题的概率[2/3]，ξ可能取得值为3，4，5，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
（II）利用频率分布直方图能求出这500名测试学生的平均成绩．
（III）由题设条件求出甲答对每一道题的概率[2/3]，ξ可能取得值为3，4，5，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
（I）获得参赛资格的人数m=（0.005+0.0043+0.032）×20×500=125（2分）
（II）平均成绩：
.
X＝(40×0.0065+60×0.0140+80×0.0170+100×0.0050+120×0.0043+140×0.0032)×20
=（0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448）×20=78.48（5分）
（III）设甲答对每一道题的概率为．P
则（1-p）2=[1/9]，∴p=[2/3]，
∴ξ可能取得值为3，4，5，
P（ξ=3）=P3+（1-P）3=[1/3]，
P（ξ=4）=
C23P2(1−p)P+
C23(1−p)p(1−p)=[10/27]，
P（ξ=5）=1-[1/3−
10
27]=[8/27]，
∴ξ的分布列为
ξ 3 4 5
P [1/3] [10/27] [8/27]Eξ＝3×
1
3+4×
10
27+5×
8
27＝
107
27．（12分）
点评：
本题考点： 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．
考点点评： 本题考查频率直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．
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