已知点F是双曲线x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线
已知点F是双曲线
−
＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）（1，2）．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
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解题思路：利用双曲线的对称性及锐角三角形∠AEF＜45°得到AF＜EF，求出A的坐标；求出AF，EF得到关于a，b，c的不等式，求出离心率的范围．
∵△ABE是锐角三角形
∴∠AEB为锐角
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴
∴∠AEF=∠BEF＜45°
∴AF＜EF
∵F为左焦点，设其坐标为（-c，0）
所以A（−c，
b2
a）
所以AF=
b2
a，EF=a+c
∴
b2
a＜a+c即c2-ac-2a2＜0
解得−1＜
c
a＜2
双曲线的离心率的范围是（1，2）
故答案为（1，2）
点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．
考点点评： 本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c2=a2+b2、考查双曲线的离心率问题就是研究三参数a，b，c的关系．
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