1、已知定点A (0,1)B(0,-1)C（1,0）动点P满足向量AP*BP=K|向量PC|2（向量PC的平方）一求动点

设P(x,y),
则：向量AP=(x,y-1),向量BP=(x,y+1),向量PC=(1-x,-y)
向量AP·向量BP=(x,y-1)·(x,y+1)=x²+y²-1
|PC|² = (1-x)² + y² = x² + y² - 2x + 1
∴x²+y²-1 = k(x² + y² - 2x + 1)
∴(1-k)x² + 2kx + (1-k)y² - 1 - k=0
①当k＝1时,2kx -1 -k=0,轨迹是直线.
②当k≠1时,
(1-k)x² + 2kx + (1-k)y² = k + 1
(1-k)[x² + 2kx/(1-k)] + (1-k)y² = k + 1
(1-k)[x + k/(1-k)]² - k²/(1-k) + (1-k)y² = k + 1
(1-k)[x + k/(1-k)]² + (1-k)y² = k + 1 + k²/(1-k)
(1-k)[x + k/(1-k)]² + (1-k)y² = 1/(1-k)
[x + k/(1-k)]² + y² = 1/(1-k)²
轨迹是以( k/(k-1),0)为圆心,1/(1-k)为半径的圆.
2、(1)
椭圆定义：平面上到两定点(焦点)的距离之和为定值(2a)的点的轨迹
设：|PF1|=m,|PF2|=n,
F1F2=2c
则m+n=2a
根据余弦定理,有：
m²+n²-2mncos∠F1PF2=|F1F2|²
即：m²+n²-mn=4c²
(m+n)²-2mn - mn=4c²
4a²-3mn=4c²
∴4a²-4c²=3mn≤3(m+n)²/4 = 3(2a)²/4 = 3a²
∴a²≤4c²
∴c/a≥1/2
∴1/2≤e＜1
(2) 这一问是“求证：△F1PF2的面积只与短轴长度有关”吧?
∵4a²-4c²=3mn
∴4b²=3mn
∴mn=4b²/3
∴S=(1/2)mnsin60°= (√3/3)b²
∴△F1PF2的面积只与短轴长度有关
3、
设角AQB为k,Q(m,n)由于对称性,只用考虑n≥0的情况
∵m²/a² + n^2/b^2=1
∴m²=a² - a²n²/b² ①
对△AQB面积,有两种算法,以此建立等式：
(1/2)|AQ|·|BQ|sink=(1/2)·|AB|·n
平方,得：|AQ|²×|BQ|²sin²k = |AB|² n²
把|AQ|、|BQ|、|AB|用m,n表示得到：
[(m+a)²+n²]·[(m-a)²+n²]·sin²k=4a²n²
[(m²-a²)²+n²(2m²+2a²)+n^4]·sin²k=4a²n²
再将①式代入,消去m,有
[(a²-b²)²n²+4a²b^4]sin²k=4a²b^4
[c^4·n²+4a²b^4]sin²k=4a²b^4
将k＝120°代入,
解得n²=(4a²b^4) / (3c^4)
∵n²≤b²
∴(4a²b^4) / (3c^4)≤b²
即4a²b²≤3c^4
再将b²用a²-c²2代替
4a²(a²-c²)≤3c^4
3c^4+4a²c²-4a^4≥0
两边同除a^4
3e^4+4e²-4≥0
2/3≤e²＜1
∴e∈[√6/3,1)

设P(x,y)
由：向量AP 点乘 向量BP = K，K=(向量PC)²
得：(x,y-1)(x,y+1)=(1-x,-y)²===>x²+y²-1=(1-x)²+y²
化简得：x=1，即动点P的方程。动点P是直线（过(1,0)点，平行于y轴）
2.K=2时：x²+y²-1=2====>x²+y²=3