若正四面体的棱长为a,则它的外接球半径是？
正四面体是一种所有棱长都相等的特殊正多面体，其四个面均为全等的等边三角形。求解其外接球半径，即寻找一个球心到四个顶点距离相等的球的半径，是立体几何中的一个经典问题。解决此问题的关键在于利用正四面体的高度对称性，找到其几何中心，该中心同时也是其外接球的球心。
我们可以将正四面体放入一个立方体中以便于理解。设想一个立方体，在其不相邻的四个顶点上取点，连接起来恰好构成一个内接的正四面体。通过计算可知，该正四面体的棱长为立方体棱长的√2倍。反之，若正四面体棱长为a，则可构造一个棱长为a/√2的立方体将其包裹，此时正四面体的外接球半径R即为该立方体体对角线的二分之一。立方体体对角线长为√3 * (a/√2)，因此外接球半径 R = (√3 * a) / (2√2) = (√6 / 4) * a。
直接推导与结论
另一种更直接的推导方法是利用正四面体的高。首先计算底面等边三角形的高为(√3/2)a，底面重心到底面顶点的距离为(√3/3)a。设正四面体的高为h，根据勾股定理有 h² + [(√3/3)a]² = a²，解得 h = (√6/3)a。其外接球球心位于高的四等分点处（从底面算起），且靠近顶点，即球心到顶点的距离（外接球半径R）为高的3/4。因此，最终得到外接球半径 R = (3/4) * h = (3/4) * (√6/3)a = (√6/4)a。所以，对于棱长为a的正四面体，其外接球半径的精确公式为 R = (√6 / 4) a。