(2012•南昌模拟)已知数列{an}满足a1=7,an+1=3an+2n-1-8n.(n∈N*)

(2012•南昌模拟)已知数列{an}满足a1=7,an+1=3an+2n-1-8n.(n∈N*
(Ⅰ)李四同学欲求{an}的通项公式,他想,如能找到一个函数f(n)=A•2n-1+B•n+C(A、B、C是常数),把递推关系变成an+1-f(n+1)=3[an-f(n)]后,就容易求出{an}的通项了.请问:他设想的f(n)存在吗?{an}的通项公式是什么?
(Ⅱ)记Sn=a1+a2+a3+…+an,若不等式Sn-2n2>p×3n对任意n∈N*都成立,求实数p的取值范围.
Granthhill 1年前 已收到1个回答 举报

fengtingxiaozhi 幼苗

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解题思路:(Ⅰ)由题意an+1=3an+2n-1-8n,要使函数f(n)=A•2n-1+B•n+C(A、B、C是常数),把递推关系变成an+1-f(n+1)=3[an-f(n)],可得f(n+1)-3f(n)=2n-1-8n,从而求出A,B;
(Ⅱ)记Sn=a1+a2+a3+…+an,因为不等式Sn-2n2>p×3n对任意n∈N*都成立,可得Sn-2n2=3n-2n+4n,得出p与n的关系式,然后利用归纳法进行证明;

(Ⅰ)∵an+1-f(n+1)=3[an-f(n)]
∴an+1=3an+f(n+1)-3f(n),
所以只需f(n+1)-3f(n)=2n-1-8n,
∵f(n+1)-3f(n)=-A•2n-1-2Bn+(B-2C),
∴-A=1,-2B=-8,B-2C=0,
∴A=-1,B=4,C=2.故李四设想的f(n)存在,f(n)=-2n-1+4n+2.
∴an-f(n)=3n-1[a1-f(1)]=3n-1(7-5)=2×3n-1
∴an=2×3n-1+f(n)=2×3n-1-2n-1+2(2n+1).(5分)
(Ⅱ)Sn=2(1+3+32++3n-1)-(1+2++2n-1)+2[3+5++(2n+1)]=3n-2n+2n2+4n.
∴Sn-2n2=3n-2n+4n,(7分)
由Sn-2n2>p×3n,得p<
3n−2n+4n
3n=1−
2n−4n
3n.
设bn=
3n−2n+4n
3n,则bn+1−bn=1−
2n+1−4(n+1)
3n+1−1+
2n−4n
3n=
2n−8n+4
3n+1=
2n−4(2n−1)
3n+1,
当n≥6时,2n-2=(1+1)n-2≥1+Cn-21+Cn-22++Cn-2n-3+Cn-2n-2≥2(1+n−2)+
(n−2)(n−3)
2≥2n−2+2(n−3)=4n−8>2n−1,
(用数学归纳法证也行)
∴n≥6时,bn+1>bn.容易验证,1≤n≤5时,bn|+1<bn
∴p<(bnmin=b6=
689
729,
∴p的取值范围为(−∞,
689
729).(13分)

点评:
本题考点: 数列与不等式的综合;数列递推式.

考点点评: 此题是数学与不等式的综合,难度比较大,第一题根据(1)的思路进行求解,不是很难,第二问难度比较大,计算量也比较大,利用归纳法进行求解比较简单;

1年前

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