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(Ⅰ)∵an+1-f(n+1)=3[an-f(n)]
∴an+1=3an+f(n+1)-3f(n),
所以只需f(n+1)-3f(n)=2n-1-8n,
∵f(n+1)-3f(n)=-A•2n-1-2Bn+(B-2C),
∴-A=1,-2B=-8,B-2C=0,
∴A=-1,B=4,C=2.故李四设想的f(n)存在,f(n)=-2n-1+4n+2.
∴an-f(n)=3n-1[a1-f(1)]=3n-1(7-5)=2×3n-1,
∴an=2×3n-1+f(n)=2×3n-1-2n-1+2(2n+1).(5分)
(Ⅱ)Sn=2(1+3+32++3n-1)-(1+2++2n-1)+2[3+5++(2n+1)]=3n-2n+2n2+4n.
∴Sn-2n2=3n-2n+4n,(7分)
由Sn-2n2>p×3n,得p<
3n−2n+4n
3n=1−
2n−4n
3n.
设bn=
3n−2n+4n
3n,则bn+1−bn=1−
2n+1−4(n+1)
3n+1−1+
2n−4n
3n=
2n−8n+4
3n+1=
2n−4(2n−1)
3n+1,
当n≥6时,2n-2=(1+1)n-2≥1+Cn-21+Cn-22++Cn-2n-3+Cn-2n-2≥2(1+n−2)+
(n−2)(n−3)
2≥2n−2+2(n−3)=4n−8>2n−1,
(用数学归纳法证也行)
∴n≥6时,bn+1>bn.容易验证,1≤n≤5时,bn|+1<bn,
∴p<(bn)min=b6=
689
729,
∴p的取值范围为(−∞,
689
729).(13分)
点评:
本题考点: 数列与不等式的综合;数列递推式.
考点点评: 此题是数学与不等式的综合,难度比较大,第一题根据(1)的思路进行求解,不是很难,第二问难度比较大,计算量也比较大,利用归纳法进行求解比较简单;
1年前
你能帮帮他们吗