(2010•大连二模)函数y=ax+1-3(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn

(2010•大连二模)函数y=ax+1-3(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则[2/m+
1
n]的最小值为(  )
A.6
B.8
C.10
D.12
zhenvoice 1年前 已收到1个回答 举报

fhqese 幼苗

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解题思路:最值问题长利用均值不等式求解,适时应用“1”的代换是解本题的关键.函数y=ax+1-3(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,
知A(-1,-2),点A在直线mx+ny+1=0上,得m+2n=1又mn>0,∴m>0,n>0,下用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值.

由已知定点A坐标为(-1,-2),由点A在直线mx+ny+1=0上,
∴-m-2n+1=0,即m+2n=1,
又mn>0,∴m>0,n>0,
∴[2/m+
1
n=(
2
m+
1
n)(m+2n)=
2m+4n
m+
m+2n
n]=2+
4n
m+
m
n+2≥4+2•

n
m•
4m
n=8,
当且仅当n=
1
4,m=
1
2时取等号.
故选B.

点评:
本题考点: 平均值不等式在函数极值中的应用;指数函数的图像与性质;直线的一般式方程.

考点点评: 均值不等式是不等式问题中的确重要公式,应用十分广泛.在应用过程中,学生常忽视“等号成立条件”,特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握.当均值不等式中等号不成立时,常利用函数单调性求最值.也可将已知条件适当变形,再利用均值不等式,使得等号成立.有时也可利用柯西不等式以确保等号成立,取得最值.

1年前

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