已知双曲线x 2 - y 2 2 =1 ，经过点M（1，1）能否作一条直线l，使直线l与双曲线交于A、B，且M是线段AB

设过点M（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1
（1）当k存在时有

y=k(x-1)+1
x 2 -
y 2
2 =1
得（2-k ² ）x ² +（2k ² -2k）x-k ² +2k-3=0（1）
当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有
△=（2k ² -2k） ² -4（2-k ² ）（-k ² +2k-3）＞0，k＜
3
2
又方程（1）的两个不同的根是两交点A、B的横坐标
∴x ₁ +x ₂ =
2(k- k 2 )
2- k 2 又M（1，1）为线段AB的中点
∴
x 1 + x 2
2 =1即
k- k 2
2- k 2 =1 k=2
∴k=2，使2-k ² ≠0但使△＜0
因此当k=2时，方程（1）无实数解
故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在．
（2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件，
综上，符合条件的直线l不存在