如图 在平面直角坐标系中 直线ab与x轴交于点a(4,0),与Y轴交于点B(0,4),抛物线y=x2-4x+4的顶点为E
如图 在平面直角坐标系中 直线ab与x轴交于点a(4,0),与Y轴交于点B(0,4),抛物线y=x2-4x+4的顶点为E,点C的坐标为(0,m)（m>0，且m≠4）点C关于AB的对称点是点D，连结CD,CE,DE
(1)当点C在线段OB上时，连结BD，求证：△BCD是等腰直角三角形
（2）C点在运动过程中，是否存在△CDE为直角三角形，若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由
（3）点P是抛物线上的一点，现以P为圆心的圆与X轴，Y轴，直线CD都相切，请直接写出此时m的值：_____.（结果保留一位小数，参考数据：sin67.5°≈0.92，cos67.5°≈0.38，tan67.5°≈2.41）
(1)当点C在线段OB上时，连结BD，求证：△BCD是等腰直角三角形
（2）C点在运动过程中，是否存在△CDE为直角三角形，若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由
（3）点P是抛物线上的一点，现以P为圆心的圆与X轴，Y轴，直线CD都相切，请直接写出此时m的值：_____.（结果保留一位小数，参考数据：sin67.5°≈0.92，cos67.5°≈0.38，tan67.5°≈2.41）
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(1)∵∠AOB=90°,OA=OB=4,∴∠ABO=45°
∵C,D关於AB对称,∴∠DBA=∠CBA=45°,∴∠CBD=90°
且BC=BD,∴△BCD是等腰直角三角形
(2)D(4-m,4),抛物线方程可化为y=(x-2)²,∴E(2,0)
勾股定理得CD²=2(4-m)²,CE²=(4-m)²+4,DE²=(2-m)²+16
若CD²+CE²=DE²,解得m=2或8
若CD²+DE²=CE²,无解
若CE²+DE²=CD²,解得m=-2不符合题意
∴m=2或8
(3)设⊙P和x,y轴分别切於M,N,则PM=PN=r(r是半径)
∴作直线y=x,该直线和抛物线交点是P的坐标
解得P(1,1)或P(4,4),即PM=PN=1或4
作PQ⊥CD於Q,连接PC,由切线长定理可知∠PCN=∠PCQ=∠DCO/2=67.5°
∵tanPCN=PN/CN=2.41,∴CN=PN/2.41
OC=ON+CN=PM+CN=PN+PN/(2.41)=PN(1+1/2.41)=1.4PN
当PN=1时,解得OC=1.4,∴m=1.4
当PN=4时,解得OC=5.6,∴m=5.6
∵C,D关於AB对称,∴∠DBA=∠CBA=45°,∴∠CBD=90°
且BC=BD,∴△BCD是等腰直角三角形
(2)D(4-m,4),抛物线方程可化为y=(x-2)²,∴E(2,0)
勾股定理得CD²=2(4-m)²,CE²=(4-m)²+4,DE²=(2-m)²+16
若CD²+CE²=DE²,解得m=2或8
若CD²+DE²=CE²,无解
若CE²+DE²=CD²,解得m=-2不符合题意
∴m=2或8
(3)设⊙P和x,y轴分别切於M,N,则PM=PN=r(r是半径)
∴作直线y=x,该直线和抛物线交点是P的坐标
解得P(1,1)或P(4,4),即PM=PN=1或4
作PQ⊥CD於Q,连接PC,由切线长定理可知∠PCN=∠PCQ=∠DCO/2=67.5°
∵tanPCN=PN/CN=2.41,∴CN=PN/2.41
OC=ON+CN=PM+CN=PN+PN/(2.41)=PN(1+1/2.41)=1.4PN
当PN=1时,解得OC=1.4,∴m=1.4
当PN=4时,解得OC=5.6,∴m=5.6
1年前
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