已知点P(1,4)在圆C:x2+y2+2ax-4y+b=0上,点P关于直线x+y-3=0的对称点也在圆C上,则a=___

已知点P(1,4)在圆C:x2+y2+2ax-4y+b=0上,点P关于直线x+y-3=0的对称点也在圆C上,则a=______,b=______.
鸡崽 1年前 已收到1个回答 举报

qinpengfei 幼苗

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解题思路:可求得点P(1,4)关于直线x+y-3=0对称点的坐标,将两点的坐标代入圆C的方程,通过解关于a,b的方程组即可求得 a,b.

设点P(1,4)关于直线x+y-3=0对称点是P′(x0,y0),
则直线PP′的斜率k=
y0−4
x0−1=1,①
又线段PP′的中点M(
x0+1
2,
y0+4
2)在直线x+y-3=0上,

x0+1
2+
y0+4
2-3=0,②
由①②解得x0=-1,y0=2,
∴P′(-1,2);
∴将两点的坐标代入圆C方程x2+y2+2ax-4y+b=0上得:


1+16+2a−16+b=0
1+4−2a−8+b=0,
解得

a=−1
b=1.
故答案为:-1,1.

点评:
本题考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程;点与圆的位置关系.

考点点评: 本题考查点关于直线对称的点的坐标,考查点与圆的位置关系,求得点P(1,4)关于直线x+y-3=0对称点是(-1,2)是关键,也是难点,属于中档题.

1年前

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