∫(1+cosx)^(1/2) / sinx dx的积分
∫(1+cosx)^(1/2) / sinx dx的积分
为什么要讨论两遍cosx呢,
方法一：令u=tan(x/2),得：∫sinx/(1+sinx)dx=∫4u/(1+u)^2(1+u^2)du=∫[-2/(1+u)^2+2/(1+u^2)]du=2/(1+u)+2arctanu+c=2/(1+tan(x/2))+x+c
方法二：∫sinx/(1+sinx)dx= ∫sinx(1-sinx)/(cosx)^2dx=-∫1/(cosx)^2d(cosx)-∫[(secx)^2-1]dx=secx-tanx+x+c
答案上这两种方法都是一样的，那么按他说的，2/(1+tan(x/2)) 和secx-tanx不是应该相等吗，我也知道不相等，
为什么要讨论两遍cosx呢,
方法一：令u=tan(x/2),得：∫sinx/(1+sinx)dx=∫4u/(1+u)^2(1+u^2)du=∫[-2/(1+u)^2+2/(1+u^2)]du=2/(1+u)+2arctanu+c=2/(1+tan(x/2))+x+c
方法二：∫sinx/(1+sinx)dx= ∫sinx(1-sinx)/(cosx)^2dx=-∫1/(cosx)^2d(cosx)-∫[(secx)^2-1]dx=secx-tanx+x+c
答案上这两种方法都是一样的，那么按他说的，2/(1+tan(x/2)) 和secx-tanx不是应该相等吗，我也知道不相等，
赞 casper2000 幼苗
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1+cosx=2cos²(x/2)
sinx=2sin(x/2)cos(x/2)
所以
∫(1+cosx)^(1/2) / sinx dx=根号(2)/2 ∫ |cos(x/2)|/【sin(x/2)cos(x/2)】 dx
得看cos(x/2)是正数还是负数
若cos(x/2)>0 元积分=根号(2) ∫ csc(x/2)d(x/2) =根号(2) ln|csc(x) - ctan(x)|+C1
若cos(x/2)
sinx=2sin(x/2)cos(x/2)
所以
∫(1+cosx)^(1/2) / sinx dx=根号(2)/2 ∫ |cos(x/2)|/【sin(x/2)cos(x/2)】 dx
得看cos(x/2)是正数还是负数
若cos(x/2)>0 元积分=根号(2) ∫ csc(x/2)d(x/2) =根号(2) ln|csc(x) - ctan(x)|+C1
若cos(x/2)
1年前 追问
2
cos(x/2)<0时 csc(x/2)=1/sin(x/2) cot(x/2)=cos(x/2)/sin(x/2) 是一正一负 此时 -根号(2) ln|csc(x/2) - cot(x/2)|=-√2ln | | csc(x/2) |+|cot(x/2)| | = √2 ln |1/[| csc(x/2) |+|cot(x/2)|]|=√2ln| [ csc²(x/2)-cot²(x/2)]/ [| csc(x/2) |+|cot(x/2)|] =√2ln| | csc(x/2) |-|cot(x/2)|] 用万能公式 u=tan(x/2) 有 cosx=(1-u²）/(1+u²) sinx=2u/(1+u²) secx-tanx=(1-sinx)/cosx=[1-2u/(1+u²)]/[(1-u²）/(1+u²)]=(1-2u+u²)/(1-u²)=(1-u)/(1+u) 不是2/(1+u) cscx-cotx=(1-cosx)/sinx=[1- (1-u²）/(1+u²)]/[2u/(1+u²)]=u 也不是2/(1+u)呀
其他文档或图片吧，截图给我即可。可将新问题地址HI我
不相等，中间差一个常数1 看我的推导可知 secx-tanx=(1-u)/(1+u)=2/(1+u) -1
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