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幼苗
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很明显,点F可能在BC的延长线上,也可能在CB的延长线上.
∴需要分两种情况进行处理.
一、当点F在BC的延长线时,延长CD至G,使DG=BE=2;令AF与CD相交于H.
∵ABCD是正方形,∴AB=AD、∠ABE=∠ADG=90°,又BE=DG,∴△ABE≌△ADG,
∴∠BAE=∠DAG、AE=AG.
∵ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,又∠EAH=45°,∴∠BAE+∠DAH=45°,
∴∠DAG+∠DAH=45°,∴∠GAH=45°.
由AE=AG、AH=AH、∠EAH=∠GAH=45°,得:△AEH≌△AGH,∴EH=GH,
∴EH=DG+DH=BE+DH=2+DH.
显然有:CH=CD-DH=AB-DH=6-DH、∠ECH=90°、CE=BC-BE=6-2=4.
∴由勾股定理,有:EH^2=CH^2+CE^2,∴(2+DH)^2=(6-DH)^2+16,
∴4+4DH+DH^2=36-12DH+DH^2+16,∴16DH=48,∴DH=3,∴CH=3.
显然有:HC∥AB,又CH=3、AB=6,∴CH是△FAB的中位线,∴CF=BC=6.
∴由勾股定理,有:
DF=√(CD^2+CF^2)=√(36+36)=6√2.
二、当点F在CB的延长线时,为了与上述情况一的点F区分开来,令此时的点F为K.
∵∠AEK=∠AGH、AE=AG、∠EAK=∠GAH=45°,∴△AEK≌△AGH,∴EK=GH,
∴BE+BK=DG+DH,∴BK=DH=3,∴CK=BC+BK=6+3=9.
∴由勾股定理,有:
DK=√(CD^2+CK^2)=√(36+81)=3√13.
即:此时的DF=3√13.
综上所述,得:满足条件的DF的长是3√13,或6√2.
1年前
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