如图四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上，O为AC与BD的交点．

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，BD∩PD=D
∴AC⊥平面PDB，
又∵AC⊂平面AEC
∴平面平面AEC⊥平面PDB．
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OD，在PBD中，
又∵PE=BE
∴OE ∥ PD，
又∵OE⊄平面PAD，PD⊂平面PAD
∴OE ∥ 平面PDA，同理可证OE ∥ 平面PDC．
（3）∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥DA，PD⊥DC，
又∵DA⊥DC
所以，可以D为坐标原点建立如图的空间直角坐标系D-xyz．设AB=1．则
D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，
2 ）， E(
1
2 ，
1
2 ，

2
2 )
从而，

AE =(-
1
2 ，
1
2 ，

2
2 ) ，

CB =(1，0，0) ，

PC =(0，-1，
2 )
设平面PBC的一个法向量为

n =（x，y，z）．
由



n •

CB =0


n •

PC =0 得

x=0
-y+
2 z=0
令z=1，得

n (0，
2 ，1)
设AE与平面PBC所成的角θ，则sinθ=
|

n •

AE |
|

n ||

AE | ，
sinθ=
|

2
2 +

2
2 |

3 ×

1
4 +
1
4 +
2
4 =

2

3 =

6
3
AE与平面PBC所成的角的正弦值为

6
3 ．