高等代数,线性代数 矩阵A（n×n）的秩为1.那么他的特征值等于什么?主要是想求证明：特征值的和=矩阵的迹

分析:
因为A的秩等于1, 所以A的行向量中有一行非零(记为α, 不妨记为列向量)
且其余行都是它的倍数. 将这些倍数构成列向量β, β≠0
则有 A=βα^T.
如: A =
2 4 6
1 2 3
0 0 0
则 α=(1,2,3)^T, β=(2,1,0)^T, A=βα^T.

注意到 α^Tβ 是两个向量的内积,是一个数 (上例中等于 4)
所以有 Aβ = (βα^T)β = (α^Tβ)β
所以α^Tβ是A的一个特征值, β是A的属于这个特征值的特征向量.

再由r(A)=1知, 齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含 n-r(A)=n-1 个解向量
综上知 0 是A的 n-1 重特征值.

tr(A)=α^Tβ+0+0+...+0=α^Tβ.
如上例中有 tr(A)=4=α^Tβ.

1.rank(A)=1说明A至少有n-1个特征值是零
2.tr(A)=sum(λ)
由此可以得到A的特征值是n-1个零和1个tr(A)
当然tr(A)也可能是零，只不过这个零特征值是亏损的
如果只讨论特征值的话就这点结果，想不到没关系，但在看到结论后不论哪步不会证都不应该，全是基本的东西...